Teoreme de concurență și coliniaritate

Geometria (din greacă γεωμετρία; geo = pământ, metria = măsură) s-a născut ca fiind ramura de studiu a matematicii (una dintre cele două ramuri ale matematicii moderne) care se ocupă cu relațiile spațiale. Pornind de la studiul unor figuri prezente în imediata noastră apropiere, geometria îmbină coerent gândirea abstractă cu gândirea concretă.

Geometria lui Euclid apare ca o doctrină constituită din punct de vedere teoretic, ca o știință deductivă ale cărei adevăruri numite teoreme, se deduc logic dintr-o serie de enunțuri și axiome, rezultate din propria-i experiență, din observații făcute de-a lungul anilor în mediul înconjurător, atât cel natural, cât și cel antropic. Geometria euclidiană, are ca sens general, geometria, ce are ca bază cele 13 cărți ale operei "Elemente" a matematicianului grec, Euclid (365 – 300 î.H.). Cunoștințele cuprinse în acele cărți și-au păstrat valabilitatea peste secole și decenii, până în zilele noastre, fiind bine fundamentate logic și având la bază argumente matematice riguroase.

Modul în care a fost reconcepută geometria cu tentă de modernitate, drept studiu logic deductiv, a determinat o altfel de formulare a sistemului axiomatic a lui Euclid de către matematicianul german David Hilbert (1862-1943) în cartea sa, "Bazele geometriei", apărută în anul 1899.

Geometria elementară cu așa numita „metodă a raționamentului geometric”, este cea care prefigurează arhitectura sistemului de gândire al elevului, pentru toată viața. Rezolvarea problemelor de demonstrație ajută la însușirea cunoștințelor de geometrie, la dezvoltarea gândirii logice și a creativității.

În geometria plană, rezolvarea problemelor de coliniaritate a unor puncte sau de concurență a unor drepte se realizează folosind metode și criterii matematice care necesită o analiză amănunțită, ce implică atât cunoștințe dobândite în școală, cât și un anumit antrenament de a rezolva probleme de geometrie, o gândire matematică, o imaginație bine conturată.

Tematica lucrării necesită cunoașterea aprofundată a geometriei triunghiului, a liniilor importante din acesta și legătura cu teoremele abordate pe parcurs. Astfel concurența bisectoarelor interioare, a înălțimilor și a medianelor, apar, în lucrare, ca aplicații ale teoremei lui Ceva.

Aplicațiile acestor teoreme de coliniaritate și concurență în triunghi sunt multiple, ele regăsindu-se în programele școlare de gimnaziu, dar și în programele aferente ciclului liceal.

Între problemele de concurență și coliniaritate există o strânsă legătură. Astfel, pentru a dovedi că dreptele d₁, d₂ și d₃ sunt concurente, se consideră P, punct comun dreptelor d₁ și d₂, precum și punctele M și N situate pe dreapta d₃. Atunci problema inițială se reduce la a arăta că punctele M, N, P sunt coliniare.

În acest context, s-ar putea menționa faptul că există o teoremă care realizează o punte între cele două noțiuni matematice, teorema lui Desargues.

Elementele teoretice asupra concurenței și coliniarității pot fi completate cu unele definiții ale noțiunilor ce apar în teoreme (de exemplu: proiecție ortogonală, puncte coliniare, ortocentru, centrul cercului circumscris triunghiului, centrul de greutate etc.).

Teorema lui Menelaos este una din teoremele clasice ale geometriei. Poartă numele lui Menelau din Alexandria, căruia îi este atribuită. De-a lungul anilor ea a fost demonstrată prin diverse metode folosind rezultatele din geometria sintetică, dar și cu metoda analitică, cu metoda vectorială și cu ajutorul transformărilor geometrice, al omotetiei.

Leonhard Euler (1707-1783) este cel mai prolific și unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor. A contribuit la dezvoltarea diferitelor ramuri ale matematicii precum: teoria numerelor; analiza matematică; teoria grafurilor; geometrie (inclusiv trigonometrie). În geometria elementară numele său este legat printre altele de cercul celor nouă puncte, dreapta pe care se află centrul de greutate, ortocentrul și centrul cercului circumscris unui triunghi (dreapta lui Euler). Teorema, ce definește dreapta ce-i poartă numele, este enunțată astfel: În orice triunghi, ortocentrul (H), centrul de greutate (G) și centrul cercului circumscris triunghiului (O), sunt coliniare. Dreapta determinată de aceste puncte se numește dreapta lui Euler.

Dreapta ortică - Fie ABC un triunghi oarecare, iar D, E, F picioarele înălțimilor sale. Dreptele DF, DE, EF intersectează laturile triunghiului ABC în trei puncte M, N, P coliniare. Dreapta determinată de cele trei puncte (pe care ele sunt situate) se numește dreaptă ortică.

Teorema lui Carnot - Tangentele la cercul circumscris triunghiului ABC, în punctele A, B, C, întâlnesc laturile triunghiului în punctele A', B', C' coliniare.

Teorema lui Ceva este o teoremă importantă din geometria triunghiului, fiind descoperită de matematicianul italian Giovanni Ceva (1647 – 1737) și formulată în 1678 în lucrarea sa "De lineis rectis se invicem secantibus static constructio". Ea are o gamă largă de aplicabilitate, fiind folosită în triunghi pentru demonstrarea concurenței a trei linii importante: a bisectoarelor interioare, a medianelor și a înălțimilor ( acestea figurând în lucrare ca aplicații ale teoremei lui Ceva). Totodată, reciproca teoremei lui Ceva este o metodă puternică și elegantă pentru demonstrarea concurenței a trei drepte.

Punctul lui Nagel - Fie ABC un triunghi oarecare, iar D, E, F, punctele de tangență ale cercurilor exînscrise cu laturile lui ABC. Dreptele AD, BE, CF sunt concurente într-un punct N, numit punctul lui Nagel al triunghiului ABC. Triunghiul DEF se numește triunghiul lui Nagel al triunghiului ABC.

Punctul lui Gergonne este un punct important din geometria triunghiului și poartă numele matematicianului francez Joseph Gergonne (1771 – 1859) fondator al revistei "Annales de Mathematiques", în anul 1810.

Închei cu citatul celebrului poet-matematician Ion Barbu, pseudonimul lui Dan Barbilian: Ca și în geometrie, înțeleg prin poezie o anumită simbolică pentru reprezentarea formelor posibile de existenţă… Pentru mine poezia este o prelungire a geometriei, așa că, rămânând poet, n-am părăsit niciodată domeniul divin al geometriei.

 

Bibliografie:
L. Nicolescu, A. Bumbacea, A. Catana, Horja P., Niculescu G.G., Oprea N., Zara C., Metode de rezolvare a problemelor de geometrie, Ed. Univ. Bucuresti, 1998;
L. Panaitopol, Mihai Bălună, Bogdan Enescu, Matematică, manual pentru clasa a IX-a, Editura Gil, Zalău, 2001;
M. E. Panaitopol, L. Panaitopol, Probleme calitative de geometrie plană, Editura Gil, Zalău, 1996;
G. Țițeica, Culegere de probleme de geometrie, Editura Tehnică, București, 1965.