Bazele psihopedagogice ale rezolvării de probleme matematice

Noțiunea de problemă are un conținut larg cuprinzând o gamă variată de preocupări și acțiuni în diferite domenii. În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o rezolvare, o soluție poartă numele de problemă. Cu alte cuvinte, ținând cont de faptul că orice proces de gândire este declanșat de o întrebare pe care și-o pune sau care i se pune omului, se admite că formularea unui răspuns clar și precis la o astfel de întrebare constituie o problemă.

În sens psihologic, “o problemă” este orice situație, dificultate sau obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică, pentru care nu există un răspuns gata formulat. Limitându-ne la matematică, admitem că prin problemă se înțelege orice chestiune a cărei soluție se poate obține prin procese de gândire și calcul.

„Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorii numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele sau față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acelei valori necunoscute”.

În esența ei, rezolvarea unei probleme este o activitate inventivă, creativă. Individul nu se naște cu experiență socială. Aceasta și-o însușește pe calea achiziției, a învățării individuale. În procesul de învățământ, învățarea cuprinde activitatea elevilor în scopul însușirii priceperilor și deprinderilor necesare pentru viața personală și socială, precum și a unor procese de muncă intelectuale.

A învăța o chestiune înseamnă a o trece din domeniul problematicului în domeniul cunoscutului, obișnuitului. Procedeul este complex: dintr-o problemă complexă esențial nouă, devine întâi o problemă înțeleasă, apoi bine înțeleasă, familiară, pentru a trece apoi în domeniul unui instrument de lucru, mânuit la început cu unele ezitări, apoi mânuit la perfecție.

Problema nouă solicită atenția în direcții multiple, neorganizate, unele inutile – simple încercări, problema înțeleasă solicită atenția numai în direcții care s-au dovedit utile, iar cea devenită instrument de lucru este concentrarea în chintesența sa. Problema este gândită rapid și favorizează posibilitatea îmbinării cu alte probleme, cu alte chestiuni care să ducă la altele tot atât de condensate.

În școală, elevii își însușesc sisteme de noțiuni, își formează priceperi și deprinderi corecte de muncă. Aceasta se realizează numai printr-o activitate riguros organizată, prin explicații și demonstrații, în așa fel încât elevii să înțeleagă fiecare cunoștință în urma trecerii acesteia printr-un proces de gândire. Fiecare cunoștință nouă devine o achiziție proprie fiecărui elev în funcție de experiența acumulată anterior, de posibilitate și capacitatea de reflectare de care dispune și de nivelul de dezvoltare a proceselor intelectuale.

Formarea priceperilor și deprinderilor se bazează pe activitatea sistematică a scoarței cerebrale, pe elaborarea stereotipului dinamic și consolidarea lui. Formarea priceperilor și deprinderilor de a rezolva problema comportă mai multe aspecte:

• formarea unor deprinderi generale de analiză a problemelor;
• rezolvarea unei probleme asemănătoare;
• rezolvarea unei probleme inedite;
• crearea unor probleme după anumite cerințe.

Primele două situații reclamă în mod special înțelegerea și aplicarea, pe când ultimele două solicită procese intelectuale și afectiv-volitive la nivel superior, inventivitate și creativitate, cu deosebire. Dar, cu fiecare pas câștigat, elevul mai învață ceva. În matematică „a învăța și a crea sunt doi poli care nu se pot despărți, tot așa cum, dacă un magnet mare este tăiat în mai multe bucăți, apar la fiecare, cei doi poli magnetici – inseparabili”.

Formarea priceperii de a analiza și rezolva o problemă, presupune însușirea conștientă a acesteia, adică însușirea enunțului, a semnificației valorii numerice, stabilirea relației dintre valorile numerice, stabilirea relației dintre datele problemei, a valorii numerice necunoscute, găsirea căilor, a metodelor și a tehnicilor de calcul în drumul cel mai scurt și sigur spre soluția problemei. Numai în măsura în care aceste cunoștințe vor fi înțelese în mod conștient se vor transforma în priceperi și apoi vor deveni drept deprinderi.

Elevii trebuie îndrumați asupra felului cum trebuie să studieze o problemă, cum trebuie să-și organizeze procesele de gândire, raționamentele, judecățile, ce se poate memora și ce nu. Rezolvarea unei probleme trebuie refăcută, reconstituită printr-un efort personal de gândire, efort dirijat cu migală de învățător. Numai în așa fel învățarea este de tip formativ. Descoperind o cale de rezolvare, elevul învață să gândească, capătă deprinderea de a raționa pentru a descoperi el însuși ideea. Astfel, pentru rezolvarea unei probleme compuse, elevul trebuie să o transforme în problemă simplă, să aleagă valorile numerice ale problemei pe baza unui șir de raționamente logice. Acestea presupun procese de gândire deosebite, analiză, sinteză, abstractizare, generalizare, judecăți, raționamente deductive și inductive.

Înțelegerea unei probleme trebuie să se facă întâi pe părți și apoi în ansamblul ei. „A înțelege înseamnă a crea și gândi o sinteză a părților ei, care este o realitate psihică organizată ce depășește simpla însumare a verigilor”.

De aceea, după rezolvarea unor probleme, este necesar să repetăm nu calcule, ci modul în care am realizat succesiunea de raționamente, de judecăți ce ne-a ghidat în decizia noastră de a alege o cale sau alta. Rezolvarea, în cazul în care problema este înțeleasă, se cristalizează foarte bine și pare că se scurtează, elementele de prisos fiind înlăturate, rămânând cele esențiale, ideea. Succesiunea de judecăți, de momente se condensează într-o imagine unică, sintetică, iar în momentul în care elevul citește o problemă asemănătoare, ideea apare ca de la sine, greutatea constând de multe ori în transformarea ideii într-o succesiune de momente, de imagini. De aceea, o problemă foarte bine înțeleasă li se pare elevilor foarte ușoară, deși pentru alții poate fi foarte grea, dacă a rămas la înțelegerea ei pe părți și nu a ansamblului, a sintezei ideii. La acest stadiu se poate ajunge folosind cât mai multe probleme în care să varieze elementele neesențiale și să se sublinieze procedeul comun de rezolvare. Pentru conștientizarea procedeului, este necesar ca la început rezolvarea să fie însoțită de explicații ample din care elevul să înțeleagă că în toate situațiile asemănătoare, calea de rezolvare rămâne aceeași.

Rezolvarea și analizarea a tot mai multe probleme duce la întărirea legăturilor de pe scoarța cerebrală, iar prin procesul abstractizării se înlătură elementele particulare, neesențiale și elevii generalizează procedeul pentru toate cazurile asemănătoare formând scheme mentale de rezolvare. Astfel, deprinderile de a rezolva probleme trec prin faza de organizare și sistematizare în etapa automatizării, spre a se perfecta și desăvârși în practică.

Pornind de la legătura strânsă ce există între limbaj și gândire, în matematică trebuie avut în vedere faptul că limbajul reprezintă o noțiune mult mai cuprinzătoare decât limba vorbită.

În limbaj matematic intră în mod esențial exprimarea prin simboluri: orice propoziție dintr-o problemă trebuie transformată într-un limbaj matematic, gândită sintetic. Astfel, printr-o atenție concentrată, dovedind capacități analitice și sintetice, elevii traduc limbajul problemei în limbaj interior, pe care-l transformă apoi în imagini, în scheme mintale, foarte condensate, dând astfel posibilitate gândirii să cuprindă mai multe planuri deodată. Dar procesul nu se oprește aici. După ce au descoperit și au gândit o rezolvare a problemei este necesar un efort pentru a traduce în limbaj retoric, natural, uneori nefiind o simplă traducere ci o prelucrare, o adaptare, materializată, de exemplu, sub forma planului logic de rezolvare. Astfel, pe baza folosirii experienței anterioare, combinând elementele cunoscute prin sinteză și analiză superioară și având în vedere interrelația dintre gândire și limbaj, se elaborează la nivelul celui de-al doilea sistem de semnalizare soluția problemei.

Am urmărit ca prin exerciții variate să-i fac pe elevi să înțeleagă și să mânuiască cu ușurință limbajul simbolic, atât prin traducerea celui natural în cel matematic, cât și prin retroversiune, prin citirea în limbaj obișnuit a diferitelor expresii numerice sau formule literale, ce reprezintă generalizarea unor anumite tipuri de probleme.

Sarcina învățătorului este aceea de a intui limbajul interior al elevului, cel real, care urmărește îndeaproape ritmul gândirii însăși. Permanent trebuie să punem întrebarea ce se ascunde, ce se află, ce se petrece pe planul gândirii, în spatele vorbelor.

Obținerea unor rezultate calitative la matematică nu este posibilă decât prin efort concentrat, printr-o atenție ascuțită, totală, dar în același timp distributivă, necesară cuprinderii întregii probleme în ansamblul ei și surprinderii legăturii inedite dintre datele acesteia. Dacă elevul nu are energia nervoasă suficientă, nu-l putem scuti de efortul concentrat, i-l cerem mai rar, dar atunci trebuie neapărat să apară momente de înaltă tensiune.

În viață, elevul nu are de rezolvat numai probleme asemănătoare, ci și probleme inedite.

Interesant este de reținut cum procedează acesta în cazul respectiv. Care este calitatea efortului depus ? Care sunt consecințele pe plan psihic ?

Fiind pus în situația de a rezolva o problemă nouă, printr-o atenție distributivă, elevul încearcă prin tatonări, în linii mari, să clarifice enunțul și întrebarea problemei, natura, sensul, rostul, dificultățile legate de ea.

Unele enunțuri sunt clare de la început; altele devin prin reflecție prelungită asupra lor clare, cel puțin mai clare decât la început. La prima citire, problema îndeamnă la căutări, la ordine, la soluție în baza căreia se va crea un sentiment de încredere în posibilitățile sale, un sentiment complex de liniște, de mulțumire.

În a doua etapă, atenția devine difuză, îndreptată și spre enunț și spre mijloace – folosite în vederea găsirii soluției. Atmosfera sufletească este foarte încărcată.

Acțiunea gândirii care caută implicații este cel mai mult ghidată de unele indicații generale și vagi, de încercare de a folosi experiența anterioară, care uneori mai mult strică decât să ajute. Travaliul depus în gândirea care caută este neorganizat și neeconomicos; o serie de încercări se dovedesc inutile. Cheltuiala de energie este foarte mare. Atenția asupra problemei este foarte concentrată, memoria și imaginația sunt febrile. Se schițează multe ipoteze, multe proiecte de raționamente, se încearcă, se abandonează. Strădania de a încerca și de a merge mai departe trebuie să aibă un suport efectiv deosebit, dorință, pasiune, o ambiție îmbinată cu o oarecare modestie, o neliniște care îndeamnă mereu la noi căutări, speranțe.

În căutarea ideii ce-l va călăuzi spre soluția problemei, elevul încearcă două alternative: calea stricată, bătătorită, lipsită de neprevăzut sau cea necunoscută.

Stările afective sunt și ele diferite în ambele cazuri și diferă de la individ la individ, fiind mult mai complexe, mult mai bogate și mai nuanțate în al doilea caz.

Adesea se întâmplă ca drumul necunoscut să se închidă la un moment dat și elevul să fie cuprins de descurajare, de deprimare. În acest caz, trebuie intervenit și ajutat pentru că, de multe ori, ni s-a întâmplat și nouă acest lucru.

Dar, deși calea găsită nu duce la rezolvare, problema continuă să preocupe.

În a treia fază, în această atmosferă de nesiguranță, de căutare, de așteptare, apare deodată, ca o scânteie – „o inspirație” care schimbă brusc calitativ conținutul și structura gândirii. A apărut doar ideea călăuzitoare și convingerea că ea dă direcția justă. Ea este uneori surprinzătoare și pentru cel care o descoperă. Este nouă, este valoroasă, este neașteptată tocmai pentru că nu este găsită pe drumuri știute, pe căile pe care ar fi venit în mintea „oricui”. Ideea nouă a apărut atunci când a dispărut din atenție metoda știută, lăsând liber pentru ceva nou.

Momentul descoperirii ideii este intens din punct de vedere afectiv și este caracteristic activităților problematice.

O altă idee întrevăzută urmează faza de concretizare a ei, de verificare și elaborare a planului de rezolvare și a calculelor. Sunt cazuri când ideea, deși apăruse ca o impresie de certitudine, se dovedește în cursul verificării analitice, falsă. Dar, de cele mai multe ori, ea se dovedește a fi justă.

Punându-l pe elev în postura de creator, în prezența problemei și nu a soluției, determinându-l să găsească, gândească și să descopere el însuși, îl ajutăm să-și formeze un stil de muncă, o atitudine care asigură în învățarea matematicii un randament maxim cu dificultăți maxime.

Creația în matematică necesită un efort de intensă concentrare. Elevul analizează, selectează, discriminează, combină, deduce, judecă, evaluează. Sunt moduri de acțiune pe care elevul le învață în contact cu munca învățătorului și nu le învață ca acțiuni izolate, stereotipe, ci ca moduri creatoare, care pot fi adaptabile și altor situații.

Dar, esențial mi se pare să privim psihicul „micului cercetător” în totalitatea lui, să nu neglijăm a lua în considerare, alături de modul cum se desfășoară activitatea intelectuală și latura afectivă, gama variată de sentimente ce animă sau stânjenesc munca de căutare, de descoperire. Succesul activității depinde nu numai de perfecția instrumentelor de lucru, ci de modul cum sunt puse ele în lucru, de felul cum întreaga personalitate se angrenează în muncă.

În rezolvarea problemelor de matematică nu reușesc cei îngâmfați, încrezuți. Reușesc cei care au o anumită îndoială ce le permite să aibă atenția trează spre toate posibilitățile și căile care conturează în ceața necunoscutului.

Formarea deprinderilor de a rezolva o problemă nu depinde numai de procesele intelectuale: inteligență, gândire, atenție, memorie, limbaj, imaginație, ci și de aptitudinile elevului pentru matematică, de structura temperamentală, de calitățile volitiv-afective. Învățătorul trebuie să cunoască și să îmbine în mod armonios, toți acești factori psihici, pe un suport pedagogic optim, în așa fel încât efortul depus atât de el însuși, cât și de elev, în formarea deprinderii de a rezolva, să fie minim și plăcut.

 

Bibliografie:

Neacșu , I. „Metodica predării matematicii la clasele I-IV” E.D.P. pag. 196.
Rusu, E. „Psihologia activității matematice” E.D.P. București, pag. 174.
Rusu, E. „Despre învățarea matematicii” E.D.P. București, pag. 16.