Astăzi, mai mult ca niciodată, toți suntem conștienți de fapt, că unul dintre obiectivele sistemului de învățământ este acela de a pregăti elevii pentru viață, pentru situațiile ce le vor avea de confruntat dincolo de școală.
Matematica este una dintre științele cele mai frumoase, percepută de elevi ca abstractă, studiul matematicii necesitând o muncă susținută, ordonată, sau, cum se mai spune, „cu creionul în mână”.
Studiul matematicii are un rol foarte important în formarea gândirii logice și creative a elevului, în dezvoltarea capacității de analiză și sinteză, în antrenarea memoriei și în canalizarea minții pe găsirea de soluții la probleme pe tot parcursul vieții și aplicate apoi în multe domenii din viața de zi cu zi.
În scopul realizării celor explicate anterior, organizăm cu elevii clasei a XI-a, specializarea învățător-educatoare, după prezentarea conținutului lecției despre monoizi și grupuri, o activitate în urma căreia să aibă un răspuns la cunoscuta întrebare „la ce îmi folosește matematica?”. Pentru aceasta folosim metoda brainstormingului formându-le astfel, pe lângă competențe matematice, și abilități practice de viață, cum ar fi lucrul în echipă și comunicarea colegială, prelucrarea ideilor și fructificarea lor prin ajustări succesive, sau manifestarea liberă a imaginației. În scopul consolidării celor lucrate în clasă, tema propusă a fost formulată astfel: „asociați definiția monoidului sau a grupului cu o întâmplare sau situație din viața reală”.
1). Adunarea numerelor întregi pe înțelesul tuturor
Pentru o mai bună înțelegere, aducem în discuție, la început, o operație matematică cunoscută tuturor și anume adunarea numerelor întregi.
În urma adunării a două numere întregi, suma acestora este tot un număr întreg.
Sunt cunoscute, de asemenea, proprietățile de asociativitate și comutativitate ale operației de adunare.
Zero este elementul neutru al adunării deoarece, 0+x=x, adică orice număr nu se modifică la adunarea cu zero.
În același timp, orice număr întreg are „o pereche”, numită opusul numărului, adică tot un număr întreg cu proprietatea că, prin adunarea lor se obține suma zero, adică elementul neutru. De exemplu, și -7 și 7 sunt unul opusul celuilalt și -7+7=0.
Pe scurt spus, mulțimea numerelor întregi, împreună cu operația de adunare, formează un grup comutativ.
2). Prezentarea științifică a noțiunilor matematice
Definiția legii de compoziție
Fie M o mulțime nevidă. Se numește lege de compoziție internă sau, simplu, lege de compoziție definită pe mulțimea M, o aplicație care asociază fiecărei perechi de elemente x și y din mulțimea M, un unic element tot din mulțimea M, notat x * y, și numit compusul lui x cu y.
Definiția monoidului
Fie M o mulțime nevidă și „*” o lege de compoziție definită pe mulțimea M. Cuplul (M,*) se numește monoid dacă legea de compoziție „*” satisface următoarele axiome:
M1) Legea de compoziție este asociativă, adică (x*y)*z=x*(y*z), pentru orice elemente x,y,z din mulțimea M ;
M2) Legea de compoziție admite element neutru, adică există un element e în mulțimea M cu proprietatea x*e=e*x=x, pentru orice element x din mulțimea M .
Observație: dacă legea de compoziție „*” este și comutativă, adică x*y=y*x, pentru orice elemente y și x din mulțimea M, atunci cuplul (M,*) se numește monoid comutativ.
Definiția grupului
Fie G o mulțime nevidă și „*” o lege de compoziție definită pe mulțimea G. Cuplul (G,*) se numește grup dacă legea de compoziție „*” satisface următoarele axiome:
G1) Legea de compoziție este asociativă, adică (x*y)*z=x*(y*z), pentru orice elemente x,y,z din mulțimea G ;
G2) Legea de compoziție admite element neutru, adică, există un element e în mulțimea G cu proprietatea x*e=e*x=x, pentru orice element x din mulțimea G ;
G3) Orice element din mulțimea G este simetrizabil în raport cu legea de compoziție „*”, adică, pentru orice element x din mulțimea G, există un element x' tot în mulțimea G cu proprietatea x*x'=x'*x=e .
Observație: dacă legea de compoziție „*” este și comutativă, atunci cuplul (G,*) se numește grup comutativ sau abelian.
De asemenea, am clarificat faptul că grupul, având o proprietate în plus față de monoid, adică are toate elementele simetrizabile, devine „mai puternic”, teoria grupurilor fiind studiată de marii matematicieni Euler, Gauss, Galois.
3). Matematica și viața
Lucrând pe grupe, elevii au răspuns provocării oferind răspunsurile prezentate în continuare.
În încercarea de a găsi un corespondent al noțiunii de lege de compoziție, au explicat faptul că oamenii, pentru a-și ușura traiul de-a lungul istoriei, au început să se organizeze în societăți umane, în mulțimi, fiecare cu specificul ei. De exemplu, în paleolitic, unii erau vânători, alții culegători nomazi. Mai târziu au apărut imperiile și regatele. De asemenea, apariția religiilor i-a grupat pe oameni după ritualuri, dogme sau valori. Elevii au asociat aceste forme de organizare cu legea de compoziție internă și cu zicala „ce se întâmplă în casă, în casă rămâne”, deoarece, în urma compunerii elementelor din mulțimea pe care s-a definit legea de compoziție, elementul obținut aparține tot mulțimii.
Asociativitatea au explicat-o prin nevoia oamenilor de a se asocia, observând astfel că, munca le devine mai ușoară, energia consumată mai mică, iar finalitatea muncii lor nu se schimbă.
Pentru elementul neutru au găsit mai multe corespondențe atât în viața reală cât și în literatură, religie și filosofie.
Primul paralelism a fost făcut cu înțeleptul satului sau cu preotul, deoarece aveau capacitatea de a „neutraliza” conflictele și de a readuce liniștea în sufletele oamenilor, aceștia redevenind ei înșiși: x*e=e*x=x . Exemplul elevilor a venit din opera lui Ion Creangă, „Amintiri din copilărie”, partea I, în care bătrânul David Creangă este un personaj ilustrativ ce face o minunată pledoarie în favoarea inițierii oricărui om capabil și dornic să învețe în tainele scrisului și ale cititului: „Nu-i rău, măi Ștefane, să știe și băietul tău oleacă de carte, nu numaidecât pentru popie, cum chitește Smaranda, că și popia are multe nacafale, e greu de purtat”.
A doua comparație a fost cea dintre elementul neutru și sentimentul de iubire, considerând dragostea ca un element de echilibru în viața unui om. Sentimentul de iubire este unic, așa cum și elementul neutru este unic în cadrul monoidului sau grupului.
De asemenea, au subliniat faptul că, în folclor, arhetipul înțelepciunii este întrupat adesea de însuși Dumnezeu.
Pentru proprietatea de comutativitate, unul dintre elevii care se pregătea pentru admiterea la Facultatea de Drept, pasionat fiind de teoriile filosofice și teologice, a făcut referire la clasificarea dreptății în funcție de scopul pe care îl are aceasta:
- Dreptatea distributivă
- Dreptatea comutativă sau reciprocă
- Dreptatea coercitivă
El a explicat noțiunea de dreptate comutativă prin faptul că aceasta se orientează după egalitatea matematică sau, cum spunea Aristotel, după regula numărului (legea talionului: ochi pentru ochi, dinte pentru dinte). A precizat că noțiunea de „dreptate comutativă” apare încă din scrierile lui Aristotel care afirmă că activitatea economică este adevăratul domeniu al reciprocității, „ca schimb guvernat de principiul egalității” prin intermediul unității comune de măsură care este moneda.
Până în acest moment, elevii au realizat paralelismul cu monoidul. Cum s-a ajuns însă la organizarea de grup? Oamenii au nevoie de mai multă stabilitate atât în cadrul mulțimii în care își desfășoară traiul, cât și individual. În acest context, după ce au descoperit sentimentul unic numit iubire, au început să conviețuiască câte doi. Faptul că, într-un grup, orice element este simetrizabil, au explicat-o prin proverbul „fiecare om are jumătatea lui”.
Un alt elev a comparat perechea de elemente x și x' cu una dintre cele mai cunoscute sculpturi ale lui Constantin Brâncuși, intitulată „Sărutul”, ca „simbol al fuziunii între două persoane separate ce reface unitatea originală a vieții”.
4).Concluzii
Beneficiile acestei activități au fost acelea că elevii au plecat acasă, pe de o parte, cu noțiuni „abstracte” de matematică necesare promovării examenului de bacalaureat, iar pe de alta, cu un bagaj emoțional și spiritual menit să-i sensibilizeze și să-i ancoreze în realitatea înconjurătoare. Mai mult decât atât, activitatea le-a dezvoltat gândirea creativă, imaginația, calități necesare viitoarelor cadre didactice. De asemenea, am mai observat dorința acestora de a studia în continuare, de a compara și confrunta lecția respectivă și cu alte noțiuni dobândite la orele de istorie, limba și literatura română, religie și filosofie.
Matematica, aceea care părea abstractă, îi ajută în viață, iar astfel de legături cu lumea în care trăiesc, cu siguranță sunt de ajutor în formarea lor ca adulți.
Studiul interdisciplinar este recomandat deoarece abordarea interdisciplinară a științelor are rolul de a le stârni curiozitatea, imaginația, interesul. În acest context, elevii vor începe să facă conexiuni între materiile studiate astfel încât procesul de înțelegere a fenomenelor să devină mai ușor.
Bibliografie:
Aristotel, 2007, Etica nicomahică, Editura Antet, București;
Ruști, D., 2009, Dicționar de teme și simboluri din literatura română, Editura Polirom, Iași;
Dreptatea, o privire tripartită (filosofică, teologică, juridică);
Gandirea economica a antichitatii
Publicat de:
Teodorescu Nicoleta-Mădălina
Profesor de matematică la Colegiul Național Pedagogic „D.P. Perpessicius”, Brăila.