Coliniaritate și concurență în plan și spațiu

Matematica zilelor noastre este un edificiu grandios și pentru ca acest edificiu complex să devină funcţional pentru generaţiile actuale și viitoare, concomitent cu armonizarea lui continuă, se impune recunoaşterea lui într-un mod cât mai eficient. Această recunoaştere nu poate începe decât cu temelia edificiului și trebuie să se producă cât mai devreme. De aceea, procesul învăţării matematicii, elaborarea unor metode care să permită accesul rapid la secretele matematicii pot fi realizate doar prin începerea studiului matematicii de la bazele ei actuale.

Tema Coliniaritate şi concurenţă nu este nominalizată explicit în programa de matematică învăţământului preuniversitar decât în clasele a IX-a şi a X-a, parţial însă, temele respective sunt abordate şi în clasele a VI-a, a VII-a, a VIII-a, a X-a, a XI-a. Motivul absenţei unei astfel de teme poate fi faptul că este o parte mai dificilă a geometriei, elevii de nivel mediu reuşind mai greu să intuiască demonstraţiile acestor tipuri de probleme.

Problemele de concurenţă şi coliniaritate ar putea fi tratate ca teme la cercurile de elevi care urmăresc performanţa şcolară, atât la gimnaziu cât şi la liceu, sau (având în vedere varietatea şi frumuseţea lor) ca un obiect opţional la liceele cu profil real. Rezolvarea de probleme are rol esenţial şi în atingerea obiectivelor din domeniul psihomotor care vizează deprinderile intelectuale şi practice specifice matematicii.

În manualele de gimnaziu au fost utilizate, de-a lungul timpului, două modalităţi de introducere a poliedrelor: una este cea în care studiul poliedrelor debutează cu prisma, iar cea de-a doua este cea în care studiul debutează cu tetraedrul. Prima modalitate are avantajul didactic că elevii înţeleg uşor că volumul paralelipipedului dreptunghic, ale cărui dimensiuni sunt exprimate prin numere reale este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţime.

Desigur, apar unele dificultăţi atunci când cel puţin o dimensiune este exprimată printr-un număr iraţional. Cea de-a doua modalitate are avantajul că teoria volumelor nu mai face apel la demonstraţii care implică numărul iraţional, pe de o parte, iar pe de altă parte, volumele celorlalte corpuri geometrice pot fi calculate pornind de la definirea volumului tetraedrului si folosirea teoremei: „Orice poliedru se poate descompune în tetraedre″.

 

CERCETAREA APLICATIVĂ

Tema Coliniaritate şi concurenţă nu este nominalizată explicit în programa de matematică învăţământului preuniversitar decât în clasele a IX-a şi a X-a, parţial însă, temele respective sunt abordate şi în clasele a VI-a, a VII-a, a VIII-a, a X-a, a XI-a. Motivul absenţei unei astfel de teme poate fi faptul că este o parte mai dificilă a geometriei, elevii de nivel mediu reuşind mai greu să intuiască demonstraţiile acestor tipuri de probleme.

Problemele de concurenţă şi coliniaritate ar putea fi tratate ca teme la cercurile de elevi care urmăresc performanţa şcolară, atât la gimnaziu cât şi la liceu, sau (având în vedere varietatea şi frumuseţea lor) ca un obiect opţional la liceele cu profil real. Rezolvarea de probleme are rol esenţial şi în atingerea obiectivelor din domeniul psihomotor care vizează deprinderile intelectuale şi practice specifice matematicii.

Utilitatea problemelor apare în orice etapă a procesului de învăţământ: în predarea noilor cunoştinţe prin situaţii-problemă, în învăţarea şi consolidarea cunoştinţelor, în evaluarea sau autoevaluarea însuşirii aspectelor teoretice. Pentru acei care activează în mod conştient în învăţământ şi, în primul rând, pentru acei care fac un învăţământ axat pe problematizare, spre care toţi înclinăm în mod natural chiar înainte de a auzi de teoria pedagogică respectivă, argumentele decisive nu sunt nici în teorii, nici în experienţele altora, ele sunt oferite de faptele vii.

A problematiza înseamnă a urmări cum elevul descoperă treptat implicaţii logice, teoreme şi cum, într-o fază superioară caută a le adânci şi sistematiza, înseamnă a stimula şi sprijini acest proces de gândire viu. (Gh. Neagu, N. Neagu: Teme alese de metodica predării matematicii).

Lucrarea își evidențiază aplicabilitatea în cadrul unui cerc de matematică, în cadrul unui opţional de matematică (după cum se va vedea în lucrarea de față) sau, pur şi simplu, pentru iubitorii de matematică prinşi de vraja geometriei demodate (cum spunea V. Gh. Vodă).

Opţionalul de matematică vine în ajutorul elevilor de clasa a VII – a şi a VIII – a, fiindu-le util acelora care au început să sesizeze frumuseţea problemelor de matematică și eleganţa înlănţuirii raţionamentelor logice. În temele propuse se împleteşte organic gândirea concretă cu cea abstractă, deci cu un rol primordial în formarea şi dezvoltarea capacităţii deductive. În intenţia de a accentua caracterul folositor al acestui opţional, am inclus atât unele probleme mai dificile, care solicită mai mult capacitatea de a raţiona a elevului, sau au darul de a fixa mai bine în memorie unele formule care, nerepetate cu o suficientă frecvenţă, se pot uita, precum şi probleme de circulaţie mai largă.

Problemele şi exerciţiile propuse, care, în mare parte, prezintă acest fel de particularităţi legate, în primul rând, de metoda de rezolvare şi în al doilea rând, de rezultatele – fie spectaculoase, fie neaşteptate, invită elevii să pătrundă în tainele lor, sunt incursiuni care duc în mod cert la progres. Prin acest opţional vreau să stimulez imaginaţia şi gândirea elevilor, să-i fac să simtă frumuseţea matematicii, al armoniei numerelor şi formelor, al eleganţei geometriei.

Am fost preocupată de a expune mijloace care duc la invenţie şi la descoperiri, atrăgându-le elevilor atenţia că un grăunte de descoperire se află ascuns în soluţia oricărei probleme. Prin conţinuturile orelor vin în sprijinul celor interesaţi spre a le uşura înţelegerea logică a propoziţiilor si raţionamentelor matematice, ilustrându-le prin exemple cât mai viabile care urmăresc cultivarea simţului pentru rigoare şi le creează în acelaşi timp emoţii când reuşesc să descopere frumuseţea unui raţionament, a unei teoreme sau probleme, frumuseţe care dă acel sentiment unic că până la el nimeni nu a pătruns în labirintul acestei ştiinţe, din care el iese victorios. Şi, în plus, apare certitudinea că tânărul care poate conduce asemenea raţionamente subtile, este apt să abordeze capitolele cele mai spinoase din orice domeniu al ştiinţei.

Tema cercetării a fost stabilită în urma constatării că elevii participă cu mai mult interes la lecțiile de matematică dacă în paralelse desfășoară și aceste ore de curs opțional. Cercetarea dorește să confirme influența pe care o are desfășurarea cursului opțional asupra rezultatelor școlare ale elevilor la obiectul matematică.

Obiectivele cercetării de față sunt reprezentate de:

1. Cunoașterea nivelului de pregătire al elevilor.

2. Măsurarea și parecierea progreselor.

3. Depistarea lacunelor și identificarea greutăților. 4. Cunoașterea și evidențierea valențelor formativ-educative ale cursului opțional.

5. Identificarea rolului pe care îl are cursul opțional în îmbunătățirea performanțelor școlare.

 

IPOTEZA CERCETĂRII

Prin acest opțional am încercat atragerea elevului spre geometrie prin observarea formelor geometrice din mediul încojurător, prin aplicarea noțiunilor predate la ora de geometrie în practică.

Am conceput activități care să stimuleze interesul elevilor pentru studierea matematicii, care să-i stimuleze să edscopere calea spre lumea misterioasă și fascinantă a geometriei, cucerind dreptul la afirmarea propriei identități și înțelegerea faptului că nu se ppt desăvârși decât dacă își fac din matematică un prieten.

De asemenea, prin acest opțional am dorit depistarea unor carențe în însușirea unor noțiuni teoretice studiate și remedierea lor într-un mod plăcut, atractiv. Ipoteza pe care mi-am propus să o verific în plnaul practic al realității școlare este: dacă pe lângă orele orele de matematică propriu-zise, elevii desfășoară și orele acestui curs opțional, atunci va crește performanța lor în cadrul procesului instructiv-educativ.

 

METODICA CERCETĂRII

Cercetarea s-a desfășurat pe durata a doi ani respectiv, în anii școlari cu elevii claselor a VII a și a VIIIa. Astfel, în cadrul experimentelor de aplicare a probelor, s-au utilizat două loturi de elevi proveniți de la două școli.

Caracteristic eșantionului experimental este faptul că asupra lui s-a acționat cu ajutorul factorului experimental în conformitate cu cele propuse în ipoteza cercetării în vederea producerii unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale, în cazul nostru, la această clasă s-a desfășurat cursul opțional. Clasa eșantion martor ca și clasa eșantion experimentală au avut același număr de elevi. La începutul anului școlar au fost aplicate aceleași teste ințiale elevilor de clasa a VII a din cele două școli.

Ca urmare a desfășurării cursului opțional COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ ÎN PLAN ȘI SPAȚIU, s-a constat o îmbunătățire a rezultatelor obținute la testul final aplicat elevilor ambilor școli.

 

DESFĂȘURAREA CERCETĂRII

A evalua rezultatele şcolare înseamnă a determina măsura în care obiectivele programului de instruire au fost atinse precum şi eficienţa metodelor de predare – învăţare folosite. Evaluarea nu trebuie înţeleasă numai ca un control al cunostinţelor sau ca mijloc de măsurare obiectivă, ci şi ca o cale de autoformare a profesorului, şi de perfecţionare a acestuia. Funcţiile evaluării apar, se actualizează diferenţiat şi se pot regăsi, mai mult sau mai puţin, în toate situaţiile de evaluare. Diversitatea situaţiilor didactice, multitudinea de obiective presupune conceperea şi aplicarea unor strategii de evaluare diferite care pot fi clasificate astfel:

• după cantitatea de informaţii sau experienţa încorporată de elevi: v evaluare parţială; v evaluare globală.
• după axa temporală la care se raportează verificarea: v evaluare iniţială; v evaluare continuă; v evaluare finală.

 Pentru ca notarea să fie cât mai corectă, probele de evaluare trebuie să se caracterizeze prin validitate (se referă la achiziţiile cunostinţelor de matematică şi nu la alte comportamente desfăşurate de elev la ora de matematică) şi fidelitate (proba repetată conduce la o apreciere identică la acelaşi evaluator în momente diferite sau la evaluatori diferiţi în acelaşi timp).

Evaluarea prin teste docimologice – alternativă şi modalitate de eficientizare a examinării tradiţionale Testul docimologic este o probă complexă cu ajutorul căreia se evaluează cu mare precizie performanţele școlare în raport cu obiectivele şi conţinutul.

Aceste instrumente conţin itemi care permit determinarea gradului de însușire a cunoştinţelor de către elevi sau a nivelului de dezvoltare a unor capacităţi şi se aplică în condiţiile obişnuite ale clasei. Un bun test docimologic nu urmăreşte numai verificarea informaţiei acumulate de elevi, ci şi capacitatea acestora de a folosi cunoştinţele asimilate deja în situaţii variate.

Evaluarea este o componentă esenţială a activităţii didactice care determină promovarea elevilor dintr-o etapă de învăţământ în alta.

Cerinţa obiectivă de a conferi activităţii de educaţie şi instrucţie o eficienţă sporită, generată de exigenţele vieţii contemporane, face necesară intensificarea eforturilor pentru a asigura procesului de învăţământ un caracter cât mai raţional şi riguros prin:

• determinarea cât mai precisă a obiectivelor instruirii;
• organizarea conţinuturilor în concordanţă cu logica didactică, cu strategiile de predare – învăţare şi în raport cu obiectivele vizate şi conţinuturile definite;
• perfecţionarea acţiunilor de evaluare şi a proceselor desfăşurate.

Evaluarea la matematică urmăreşte să măsoare şi să aprecieze progresele elevilor din punctul de vedere al cunoştinţelor, priceperilor şi deprinderilor matematice, ca rezultat al procesului de instruire, precum şi aspectele educative ale activităţii şcolare matematice. Evaluarea performanţelor elevilor se realizează în funcţie de obiectivele operaţionale propuse şi permite:

• să se determine momentul în care elevul şi-a însusit un obiectiv şi este gata să treacă la următorul;
• să se identifice şi să se găsească motivul eşecului în învăţare şi modul de ajutorare a elevului, în scopul recuperării cunoştinţelor şi a capacităţilor ce nu au fost pe deplin asimilate;
• să se stabilească obiectivele la care cei mai mulţi dintre elevi nu au obţinut performanţe satisfăcătoare, în scopul revizuirii materiei.

MODALITĂȚI DE EVALUARE ABORDATE ÎN DESFĂȘURAREA OPȚIONALULUI
În cadrul cursului descris mai sus se vor evalua :

• referate conținând demonstrații ale unor proprietăți, referate întocmite pe baza unei bibliografii ce va fi pusă la dispoziția elevilor de către profesor, cu sprijinul nemijlocit al acestuia;
• participarea activă la rezolvarea frontală dirijată a problemelor ;
• redactarea clară, concisă și riguroasă a soluției unei demonstrații matematice.

 

CONCLUZII

 Pe parcursul celor doi ani școlari am observat contribuția opționalului la îmbunătățirea performanțelor școlare ale elevilor. După prelucrarea datelor cercetării s-a constatat că inovația își dovedește valabilitatea și ipoteza cercetării este verificată.

Rezultatele obținute prin aplicarea probelor au condus la următoarele constatări:

1. Creșterea motivației pentru studiul matematicii în general, a geometriei în special, al elevii care au desfășurat cursul opțional;

2. Rezultatele obținute de elevii care au urmat cursul opțional cunt superioare celorlalți.

Cursul opțional a fost un prilej :

1. De a depista carențele în însușirea noțiunilor teoretice și de remediere a lor;

2. De pregătire a elevilor pentru examene naționale și, cu siguranță, le va facilita asimilarea noțiunilor ce vor fi parcurse de aceștia la liceu;

3. Implementarea cunoștințelor pe care elevii le posedă în activități practice și atractive. Elevii au reușit să realizeze progrese în activitatea de învățare și să recupereze lipsurile din bagajul lor de cunoștințe.

Credem cu tărie că secretul succesului în însușirea și îndrăgirea geometrie este înțelegerea, începând cu cele mai simple noțiuni. Orice act de învățare este o construcție intelectuală care trebuie să fie așezată pe o temelie solidă, construită din cunoștințe anterioare. Încercarea de a clădi cunoștinșe pe un fundament șubred este sortită eșecului. Unirea mai multor factori cum ar fi activitatea profesorului de la clasă, organizarea conținuturilor, alegerea manualelor și auxiliarelor didactice, aplicarea strategiilor potrivite și ajutorul individual susținut vor reuși să apropie elevii de studiul matematicii. Numai o muncă continuă și conștiicioasă duce la formarea omului ca personalitate. În acest sens, Ovidiu spunea: ″ Picătura găurește piatra nu prin forță ci prin continua ei cădere ″.

 

Bibliografie selectivă:

• C. ALBU, V. OBĂDEANU, I.P. POPESCU Geometrie pentru perfecţionarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, Bucureşti, 1983.
• BLĂNUŢĂ, Curs de geometrie, Institutul Pedagogic Bacău, 1971.
• ST. BOTEZ, Probleme de geometrie, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1976.
• BRÂNZEI şi colaboratorii, Bazele raţionamentului geometric, Ed. Academiei, București, 1983.
• EUCLID, Elemente (format electronic realizat de D. E. Joyce), Clark University, 1996, http:// aleph0.clarku.edu
• HADAMARD, Lecţii de geometrie elementară. Geometrie plană, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1962.
• HAIMOVICI, Elemente de geometria planului, Editura Didactică și Pedagogică, Bucureşti, 1968.
• PIAGET, Psihologie şi pedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, Bucureşti, 1972.
• POLYA, Cum rezolvăm o problemă?, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1965.
• POPA, Carte pentru tinerii profesori de matematică (şi nu numai …), Ed. Egal, Bacău, 2004.
• POPOIU, Matematica – complemente de geometrie in plan, Ed. Corint, 2001.
• SINGER, Învăţarea geometriei prin exerciţii – clasa a VII, Ed. Sigma, 1996. 159
• SINGER, Învățarea matematicii, Ed. Sigma, 1996.
• C. UDRIŞTE, Probleme de matematică şi observaţii metodologice, Ed. Facla, Timişoara, 1980.
• VAISMAN, Fundamentele matematicii, Editura Didactică și Pedagogică, Bucureşti, 1968.